Question 1: Evaluate

i) $\begin{bmatrix} 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

ii) $\begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

iii) $\begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$

iv) $\begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 \end{bmatrix}$

i) $\begin{bmatrix} 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \end{bmatrix}$

ii) $\begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -5 \end{bmatrix}$

iii) $\begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \end{bmatrix}$

iv) $\begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 \end{bmatrix}$ : This multiplication is not possible as the number of columns in the first matrix is not equal to the number of rows in the second matrix.

$\\$

Question 2: If  $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ and $I$ is a unit matrix of the order $2 \times 2$ , find:

i) $AB$     ii) $BA$     iii) $AI$     iv) $IB$     v) $A^2$     vi) $B^2A$

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

i) $AB = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ -1 & -9 \end{bmatrix}$

ii) $BA = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 4 \\ 10 & 2 \end{bmatrix}$

iii) $AI = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$

iv) $IB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

v) $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ -10 & 14 \end{bmatrix}$

vi) $B^2A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 9 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 & 2 \\ 5 & 16 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 3: If  $M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$, find $M^2, \ M^3 \ and \ M^5$.

$M^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$

$M^3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 5 & -10 \end{bmatrix}$

$M^5 = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 50 & 25 \\ 25 & -50 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 4:  Find $x \ and \ y$ if

i)   $\begin{bmatrix} 4 & 3x \\ x & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ 8 \end{bmatrix}$

ii)  $\begin{bmatrix} x & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$

i)   $\begin{bmatrix} 4 & 3x \\ x & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ 8 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 20+3x \\ 5x-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ 8 \end{bmatrix}$

Therefore

$20+3x = y$

$5x-2=8 \Rightarrow x = 2$

Hence  $y = 26$

ii)  $\begin{bmatrix} x & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x & x \\ -3 & -3+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$

Therefore

$x = 2$

$-3+y = - 2 \Rightarrow y = 1$

$\\$

Question 5: If $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \ and \ C = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, find

i) $(AB) C$     ii) $A (BC)$     Is $A(BC) = (AB)C?$

i) $(AB) C = ( \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} ) \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 13 & 11 \\ 18 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 61 \\ 88 & 86 \end{bmatrix}$

ii) $A (BC) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} ( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} )$

$= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 19 & 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 61 \\ 88 & 86 \end{bmatrix}$

Is $A(BC) = (AB)C?$ Yes.

$\\$

Question 6:  If $A = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 6 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \\ -5 & -6 \end{bmatrix}$, calculate

i) $AB$     ii) $BA$     iii) $A^2$

i) $AB = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 6 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \\ -5 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -34 & -28 \\ 5 & 9 \end{bmatrix}$

ii) $BA = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \\ -5 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 4 & 6 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 6 & -4 & -8 \\ -18 & -20 & -24 \end{bmatrix}$

iii) $A^2$

This multiplication is not possible as the number of columns in the first matrix is not equal to the number of rows in the second matrix.

$\\$

Question 7: If $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix} \ and \ C = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$. Find  $A^2 + AC-5B$.     [2014]

$A^2 + AC-5B$

$= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -7 & 8 \\ 2 & -8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 20 & 5 \\ -15 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -23 & 3 \\ 17 & 14 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 8: If $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ and I is the unit matrix of the same order as that of M; show that: $M^2= 2M+3I$

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$M^2= 2M+3I$

$LHS = M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$

$RHS = 2M+3I = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$

Hence proved $LHS = RHS$

$\\$

Question 9: If $A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & -b \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ and \ M = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ and $BA=M^2$, find the values of $a \ and \ b$.

$BA=M^2$

$\begin{bmatrix} 0 & -b \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & -2b \\ a & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$

Therefore $b = 1 \ and \ a = 2$

$\\$

Question 10:  If $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$, find

i) $A-B$     ii) $A^2$     iii) $AB$     iv) $A^2-Ab+2B$

i) $A-B = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$

ii) $A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{bmatrix}$

iii) $AB = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}$

iv) $A^2-AB+2B$

$= \begin{bmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 18 & 6 \\ 14 & 10 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 11: If $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ and  $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ find:

i) $(A+B)^2$   ii) $A^2+B^2$   iii) Is $(A+B)^2 = A^2+B^2$

i) $(A+B)^2$

$= (\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} )^2$

$= (\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & -4 \end{bmatrix})^2$

$= \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 & -12 \\ 0 & 16 \end{bmatrix}$

ii) $A^2+B^2$

$= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ -2 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 & -8 \\ -2 & 12 \end{bmatrix}$

iii) s $(A+B)^2 = A^2+B^2$ : No

$\\$

Question 13: If $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ a & b \end{bmatrix}$ and  $A^2=I$ , find  $a \ and \ b$ .

Given $I = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Therefore

$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ a & b \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1+a & -1+b \\ -a+ab & a+b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 1+a = a \Rightarrow a = 0$

Similarly $-1+b=0 \Rightarrow b =1$

$\\$

Question 14:  If   $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}, \ and \ C = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, then show that

i) $A(B+C) = AB + AC$   ii) $(B-A)C=BC-AC$

i) $A(B+C) = AB + AC$

LHS   $= A(B+C) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} (\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix})$

$= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} (\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 3 \end{bmatrix})$

$= \begin{bmatrix} 10 & 17 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

RHS   $= AB + AC$

$= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 10 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 10 & 17 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Hence LHS = RHS

ii) $(B-A)C=BC-AC$

LHS $= (\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}). \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 18 \end{bmatrix}$

RHS $= BC-AC$

$= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 4 & 18 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 10 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 18 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 15: If $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$B = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$, and $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, find the value of $A^2+BC$

$A^2+BC$

$= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}$

$\\$

Question 16: Solve for $x \ and \ y$

i) $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 14 \end{bmatrix}$

ii) $\begin{bmatrix} x+y & x-4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 14 \end{bmatrix}$

iii) $\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 \\ 2x \end{bmatrix} +3 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} y \\ 3 \end{bmatrix}$     [2014]

i) $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 14 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2x+5y & 5x+2y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 14 \end{bmatrix}$

Therefore

$2x+5y = -7$

$5x+2y=14$

Solving the above two equations we get

$x = 4$ and $y = -3$

ii) $\begin{bmatrix} x+y & x-4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 14 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x-y-8 & -2y-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 14 \end{bmatrix}$

Therefore

$x-y-8=-7 \Rightarrow x-y=1$

Also $-2y-8=-11 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$

Substituting we get $x = \frac{3}{2}+1 = \frac{5}{2}$

iii) $\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 \\ 2x \end{bmatrix} +3 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} y \\ 3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ -3+2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y \\ 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -4 \\ 2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y \\ 6 \end{bmatrix}$

Therefore $y = -2 and x = \frac{6}{2}=3$

$\\$

Question 17: Find  i) the order of matrix M ii) and find M

i) $M \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$

ii) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \times M = \begin{bmatrix} 13 \\ 5 \end{bmatrix}$

i) $M \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$

We know

$M_{m \times n} \times B_{m \times n} = C_{m \times n}$

or $M_{m \times n} \times B_{2 \times 2} = C_{1 \times 2}$

Hence $m = 1 and n = 2$

Therefore the order of $M \ is \ 1 \times 2$

Let  $\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$

Therefore

$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$

Or  $\begin{bmatrix} a & a+2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$

Hence $a = 1 \ and \ b =\frac{1}{2}$

Therefore $M = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

ii) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \times M = \begin{bmatrix} 13 \\ 5 \end{bmatrix}$

We know

$A_{m \times n} \times M_{m \times n} = C_{m \times n}$

or $A_{2 \times 2} \times M_{m \times n} = C_{2 \times 1}$

Hence $n = 2 and p = 1$

Therefore the order of $M \ is \ 2 \times 1$

Let  $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a+4b \\ 2a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 5 \end{bmatrix}$

Therefore

$a+4b = 13$

$2a+b = 5$

Solving the above two equations

$a =1 \ and \ b = 3$

$\\$

Question 18: If  $A = \begin{bmatrix} 2 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} 4 & 36 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; find $x$ given $A^2=B$

Given $A^2=B$

Therefore

$\begin{bmatrix} 2 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 2 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 36 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 3x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & 36 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 3x = 36 \ or \ x = 12$

$\\$

Question 19: Find positive integers $p \ and \ q$  such that $\begin{bmatrix} 2 & x \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & x \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} p^2+q^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 25 \end{bmatrix}$

$p^2+q^2 = 25$

Hence the possible integer combinations are

$(p = 3 \ and \ q = 4) or (p=4 \ and \ q=3)$

$\\$

Question 20: If $A \ and \ B$  are any two $2 \times 2$ matrices such that $AB = BA = B$ and $B$ is not a zero matrix, what can you say about $A$ matrix?

Let $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$

Given

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$

$\Rightarrow$

$ap+br=p$

$aq+bs=q$

$cp+dr=r$

$cq+ds=s$

Solving we get $a = 1, b = o, c= 0, \ and \ d=1$

Hence $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\\$